Το παράδοξο του Ζήνωνος.

[pero]

Ζήνων ο Ελεάτης.
Λέγεται πως ήταν ο πιο αγαπημένος μαθητής του Παρμενίδη. Έμεινε όμως στην Ιστορία γνωστός κυρίως για το παράδοξο του.
Με τα παράδοξα του Ζήνωνα ασχοληθηκαν μεγαλοι σύγχρονοι μαθηματικοί και φιλόσοφοι μέχρι και τις μέρες μας.
Το παράδοξο του Ζήνωνος εξηγεί πολύ απλά γιατό ο Αχιλλέας, ο γνωστότερος καλύτερος δρομέας της μυθολογίας δεν θα μπορούσε ποτέ να ξεπεράσει στο τρέξιμο μια χελώνα, αν αυτή προηγούταν του Αχιλλέως.
Το γεγονός πως στην πράξη οποιοσδήποτε (άρα και ο Αχιλλέας) θα προσπερνούσαν την χελώνα είναι που κάνει την απόδειξη αυτή να ονομάζεται παράδοξο.
Ας υποθέσουμε λοιπόν πως η χελώνα προηγείται του Αχιλλέως ένα στάδιο (περίπου 200 μέτρα) και ο Αχιλλέας τρέχει εκατό φορές πιο γρήγορα από την χελώνα.
Σε χρόνο t ο Αχιλλέας θα είχε καλύψει το στάδιο, όμως στον ίδιο χρόνο η χελώνα θα είχε καλύψει μια απόσταση ίση με το ένα εκατοστό του σταδίου.
Σε χρόνο t1 ο Αχιλλέας θα καλύψει το ένα εκατοστό του σταδίου όμως η χελώνα θα εξακολουθεί να προπορεύεται διότι στον ίδιο χρόνο t1 θα έχει διανύσει μια νέα απόσταση (πολύ μικρή) ίση με το ένα εκατοστό του εκατοστού το σταδίου.
Με αυτόν τον τρόπο ο Αχιλλέας δεν θα μπορούσε ποτέ να ξεπεράσει την χελώνα η οποία μονίμως θα ήταν μπροστά του έστω και για ελάχιστη απόσταση.

Με αυτήν την απλή απόδειξη λοιπόν ασχολήθηκαν και ασχολούνται πολλοί μαθηματικοί και φιλόσοφοι μέχρι τις μέρες μας.
Το σφάλμα του (το ότι πρόκειται για σφάλμα, εξάγεται από το ότι καταρρίπτεται στην πράξη) είναι κατά την γνώμη μου κατ' αρχάς φιλοσοφικό.
Όμως θα ήθελα σε όσους έχουν όρεξη να προσπαθήσουμε να συζητήσουμε το που έχει κάνει σφάλμα (αν έχει κάνει )στον συλλογισμό του ο Ζήνωνας.

[Gildor]

Αν οπτικοποιησουμε το παραδοξο στην πραξη, θα δουμε οτι ο Αχιλλεας και η χελωνα επιβραδυνονται σιγα σιγα σε απειροστο βαθμο (στυλ Ματριξ) μεχρι που φαινομενικα ακινητοποιουνται...

η περιγραφη του παραδοξου απλα αναλυει μια σκηνη σε υποδιαιρεσεις του χρονου

Ο χρονος ομως δεν επιβραδυνεται και ξεπερναει τις απειροστες υποδιαιρεσεις του... επιβραδυνεται μονο ο παρατηρητης

Το παραδοξο που σχηματιζετια λοιπον ειναι το εξης: αν η αποσταση εχει απειρες υποδιαιρεσεις, γιατι δε χρειαζεται απειρος χρονος για να τις διανυσουμε;

[pero]

Αρχική Δημοσίευση από Gildor Το παραδοξο που σχηματιζετια λοιπον ειναι το εξης: αν η αποσταση εχει απειρες υποδιαιρεσεις, γιατι δε χρειαζεται απειρος χρονος για να τις διανυσουμε;

Μήπως τελικά γιατί και ο χώρος και ο χρόνος δεν μπορεί να τέμνεται επ' άπειρόν;

[amigos]

Η φύση δεν περιγράφεται από τα Μαθηματικά επ' ακριβώς αλλά κατά προσέγγιση.
Συνεπώς ο φυσικός χώρος δεν μπορεί να τέμνεται επ'άπειρο όπως η μαθηματική θεωρία προβλέπει για τους αριθμούς.

[Gildor]

Αρχική Δημοσίευση από pero Μήπως τελικά γιατί και ο χώρος και ο χρόνος δεν μπορεί να τέμνεται επ' άπειρόν;

τεμνεται εννοεις 'υποδιαιρειται';

Αν ναι, ειχα διαβασει σε ενα Φοκους οτι αποδειχτηκε οτι τελικα ο χωρος και ο χρονος αποτελουνται απο ελαχιστα στοιχεια (βλ. πιξελ)...

[pero]

Αρχική Δημοσίευση από Gildor τεμνεται εννοεις 'υποδιαιρειται'; Αν ναι, ειχα διαβασει σε ενα Φοκους οτι αποδειχτηκε οτι τελικα ο χωρος και ο χρονος αποτελουνται απο ελαχιστα στοιχεια (βλ. πιξελ)...

Ναι, άλλωστε αυτός ήταν και ο ορισμός του (Δημοκρίτειου) Ατόμου = Δεν Τέμνεται.

Τελικά η (φαινόμενη) συνέχεια της κίνησης δεν είναι τίποτε άλλο από α-συνεχείς κινήσεις, από άλματα.
Όμως εδώ περάσαμε σε άλλη συζήτηση. Χωρίς επιχειρήματα εκτός αυτό της λογικής, μιας και τέτοιου είδους προτάσεις μπορεί να επαληθεύονται όμως δεν αποδεικνύονται.

[pero]

Αρχική Δημοσίευση από amigos Η φύση δεν περιγράφεται από τα Μαθηματικά επ' ακριβώς αλλά κατά προσέγγιση. Συνεπώς ο φυσικός χώρος δεν μπορεί να τέμνεται επ'άπειρο όπως η μαθηματική θεωρία προβλέπει για τους αριθμούς.

Όμως η Ευκλείδιος γεωμετρία π.χ. δέχεται το δικό της παράδοξο. Κάθε πεπερασμένο ευθύγραμμο τμήμα έχει άπειρα σημεία.

[Gildor]

Ωραια... ειμαστε οι πρωτοι που το λυσαμε;;

[amigos]

Αρχική Δημοσίευση από pero Όμως η Ευκλείδιος γεωμετρία π.χ. δέχεται το δικό της παράδοξο. Κάθε πεπερασμένο ευθύγραμμο τμήμα έχει άπειρα σημεία.

Μα και η ευκλείδιος γεωμετρία , είναι θεωρία που στηρίζεται στα μαθηματικά.
Τα μαθηματικά περιγράφουν τη φύση θεωρώντας την ως ιδανικό.
Στην πραγματικότητα όμως στη φύση δεν υπάρχουν ιδανικά.

[Gildor]

Ειναι σα να συγκρινεις εικονα vector με εικονα bitmap, οπως θα ελεγε ενας γραφιστας

[pero]

Αρχική Δημοσίευση από Gildor Ωραια... ειμαστε οι πρωτοι που το λυσαμε;;

ΟΧΙ δεν είμαστε οι πρώτοι που έδωσαν αυτήν την απάντηση,

[Gildor]

Αρα εχει λυθει το παραδοξο... η ψαχνουμε κατι ακομα;

[Morgul]

Αρχική Δημοσίευση από pero Ζήνων ο Ελεάτης. Λέγεται πως ήταν ο πιο αγαπημένος μαθητής του Παρμενίδη. Έμεινε όμως στην Ιστορία γνωστός κυρίως για το παράδοξο του.

Πολλά ήταν τα Παράδοξα του Ζήνωνα, αλλά λίγα έχουν επιβιώσει. Όλα σχετίζονται με τη θεωρία του Παρμενίδη, και η επικρατούσα θεωρία είναι ότι τα έγραψε επειδή οι φιλοσοφικοί αντίπαλοι του Παρμενίδη είχαν εκδώσει παρόμοια παράδοξα που κατέρριπταν τις θέσεις του ότι δεν υπάρχει καμμία αλλαγή ή κίνηση στο σύμπαν.

Ο λόγος που (υποτίθεται ότι) ασχολούνται τόσο πολλοί με τα γνωστά Παράδοξα του Ζήνωνα είναι ότι συνήθως αυτά παρεξηγούνται ως μαθηματικές/φυσικές αποδείξεις ενώ στην ουσία είναι φιλοσοφικά επιχειρήματα (όπως, πχ, η Γάτα του Schrödinger δεν έχει να κάνει με δύσμοιρες γάτες).

Νομίζω ότι με το να ασχολούμαστε με το αν ισχύουν τα παράδοξα ή όχι δίνουμε αξία σε μια σειρά φτηνά φιλοσοφικά επιχειρήματα υποκινούμενα από σκοπιμότητες ακαδημαϊκής πολιτικής (όπως θα λέγαμε σήμερα). Με αυτό το σκεπτικό το «σφάλμα» δεν είναι ακριβώς «σφάλμα», αλλά ο ατυχής ζήλος του Ζήνωνα να αποδείξει τις θέσεις του Παρμενίδη χρησιμοποιώντας τον ορατό, μακροσκοπικό κόσμο χωρίς να έχει υπ'όψη του το Μηδέν, την Άλγεβρα, και τη Φυσική του Νεύτωνα.

Άλλωστε ο ίδιος ο Αριστοτέλης (μέσω των Φυσικών του οποίου έχουν επιζήσει οκτώ από τα παράδοξα του Ζήνωνα) αργότερα απέδειξε ότι τα παράδοξα δεν ισχύουν.

Αρχική Δημοσίευση από pero Όμως θα ήθελα σε όσους έχουν όρεξη να προσπαθήσουμε να συζητήσουμε το που έχει κάνει σφάλμα (αν έχει κάνει )στον συλλογισμό του ο Ζήνωνας.

Ο Ζήνωνας απλά δεν αφήνει το χρόνο να μπει στο συλλογισμό του. Χρησιμοποιεί (πονηρά) λόγους, γιατί τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά χρησιμοποιούσαν λόγους όπου εμείς χρησιμοποιούμε άλγεβρα, κι έτσι δίνει ένα (φαινομενικά) επιστημονικό υπόβαθρο στην απόδειξή του.

Λέει λοιπόν: για να πάει ο Αχιλλέας από την αφετηρία στο τέρμα, πρέπει να περάσει από τη μέση.

Για να περάσει από τη μέση, πρέπει να περάσει από το 1/4 της διαδρομής.

Για περάσει από το 1/4, πρέπει να περάσει από το 1/8. Και ούτω καθ'εξής, αποδεικνύωντας έτσι ότι ο Αχιλλέας ή το βέλος θα περάσουν μια αιωνιότητα προσπαθώντας (ασυμπτωτικά) να φτάσουν το 1/∞ (απειροστό).

Αν βάλουμε και το χρόνο μέσα, τώρα (όπως έκανε ο Αριστοτέλης, και κάθε Δυτικός μετά το Νεύτωνα), το πρόβλημα λύνεται πολύ εύκολα. Μπορεί να καταλήξουμε στο dx (απειροστά μικρή απόσταση), αλλά η απόσταση dx καλύπτεται σε χρόνο dt (απειροστά μικρό χρόνο), και ο λόγος dx/dt μένει σταθερός (είναι η γνωστή σε όλους μας ταχύτητα). Ένα σώμα εν κινήσει πρέπει να έχει V>0, άρα δx/δt > 0, άρα dx/dt > 0.

Δε θέλει τρελή φαντασία για να καταλήξεις ότι το παράδοξο δεν ισχύει στον υλικό κόσμο. Αλλά τα μαθηματικά μας είναι απίστευτα πιο προχωρημένα από του Ζήνωνα. Ακόμα και κάποιος ανειδίκευτος όπως εγώ μπορεί να χειριστεί την απειρία και το απειροστό με τη βοήθεια διαφορικού λογισμού, ή απλά σκεπτόμενος ότι όσο κι αν υποδιπλασιάζεις μια απόσταση, πάλι θα έχεις υπαρκτή απόσταση (για κάθε x > 0, x/2ⁿ > 0).

Ίσως έχει πιο πολύ ενδιαφέρον να ασχοληθούμε με τις φιλοσοφικές προεκτάσεις των θέσεων του Παρμενίδη, και πώς λειτουργούν τα παράδοξα του Ζήνωνα σ'αυτό το πλαίσιο.

[pero]

Αρχική Δημοσίευση από Morgul Ίσως έχει πιο πολύ ενδιαφέρον να ασχοληθούμε με τις φιλοσοφικές προεκτάσεις των θέσεων του Παρμενίδη, και πώς λειτουργούν τα παράδοξα του Ζήνωνα σ'αυτό το πλαίσιο.

Προφανώς και αυτό είναι το πραγματικά ενδιαφέρον. Περιμένω λοιπόν ...

[Archmage]

Αρχική Δημοσίευση από Gildor Το παραδοξο που σχηματιζετια λοιπον ειναι το εξης: αν η αποσταση εχει απειρες υποδιαιρεσεις, γιατι δε χρειαζεται απειρος χρονος για να τις διανυσουμε;

Επειδή μπορούμε να έχουμε ένα άθροισμα με άπειρο πλήθος όρων που όμως να ισούται με έναν πεπερασμένο αριθμό (ως σύντομη συμπλήρωση στα όσα γράφτηκαν πιο πριν).

Αρχική Δημοσίευση από pero Όμως η Ευκλείδιος γεωμετρία π.χ. δέχεται το δικό της παράδοξο. Κάθε πεπερασμένο ευθύγραμμο τμήμα έχει άπειρα σημεία.

Πιο χαριτωμένο βρίσκω το γεγονός ότι ένα οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα έχει ακριβώς το ίδιο πλήθος σημείων με ένα οποιοδήποτε άλλο ευθύγραμμο τμήμα, ακόμα και με μια (άπειρου μήκους) ευθεία.

Ή αντίστοιχο χαριτωμένο είναι πως οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί είναι ακριβώς ίσοι στο πλήθος με το σύνολο των θετικών και αρνητικών μαζί αλλά και επίσης ακριβώς ίσοι με το πλήθος όλων των ρητών (=κλασμάτων).

Όλα αυτά δείχνουν περίεργα επειδή προσπαθούν να διατυπώσουν στην καθημερινή γλώσσα απλές μαθηματικές σχέσεις, δεν υπάρχει κάτι το ιδιαίτερα "παράδοξο".

υγ: για τον Παρμενίδη θα πρέπει να τεθεί λίγο πιο συγκεκριμένα το θέμα.